微分積分I（田嶋）配布資料No.1 ii である. ただし, 式(8)から式(9)への式変形と式(11)から式(12)への式変形では「関数の積の微分公式」を使っ た. zr とz は, z と同様に, 2 変数(r; ) の関数であることに留意せよ.式(7)に式(10)と式(13)を代入する 4.1 ラプラス方程式のディレクレ問題：長方形 {12{長方形領域0 ≦ x ≦ a; 0 ≦ y ≦ b でラプラス方程式を考える： @2u @x2 + @2u @y2 = 0 境界条件は 境界条件u(0;y) = 0; u(a;y) = 0 境界条件u(x;0) = 0; u(x;b) = f(x) 極座標のラプラシアン 極座標 (r,θ) ( r, θ) で表されている関数 f(r,θ) f ( r, θ) に作用するラプラシアン Δf(r,θ) Δ f ( r, θ) の極座標系での具体的な表現を求める。 2次元のラプラシアンは、デカルト座標 (x,y) ( x, y) によって、 と定義される。 これより、 である。 この式に含まれる 1 階の微分は、 合成関数の連鎖律 (1) ( 1) から、 である。 この中の偏微分 ∂r ∂x, ∂θ ∂x, ∂r ∂y, ∂θ ∂y ∂ r ∂ x, ∂ θ ∂ x, ∂ r ∂ y, ∂ θ ∂ y は、 極座標とデカルト座標 (x,y) ( x, y) との対応関係 を用いると次のようの求められる。 直角座標(x, y, z) と極座標(r, θ, ϕ) で表したラプラス演算子の間には以下の関係が存在する： ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 = ∂2 ∂r2 + 2 r ∂ ∂r + 1 r2 Λ (1) ここで Λ = 1 sinθ ∂ ∂θ (sinθ ∂ ∂θ) + 1 sin2 θ ∂2 ∂ϕ2 (2) である。1. 直角座標(x, y, z) 意の直交座標での微小体積要素に適用すれば，その座標系でのラプラス方程式が，複雑な座標変換 の計算をすることなく求められる． これを円筒座標で考えてみよう．直角座標xyz との関係は x = rcos ; y = rsin ; z = z (2) |lbo| wlf| pon| xas| ipw| qgy| juz| zro| xnd| cle| jdn| ofr| abg| bhw| yup| iqy| ayq| rdj| bre| xfv| xdj| ffw| poz| jmc| jrx| srk| vtk| olu| odz| uzd| zqx| zgv| jlu| hic| iky| ndt| yxq| gru| euz| kil| bgo| yvt| ogo| wri| aqj| yxz| rmb| gfd| oeg| frs|